교재 436쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 04 로지스틱곡선식 · 1. 로지스틱곡선식

04 로지스틱곡선식 — 1. 로지스틱곡선식

초기에는 완만하다가 급증한 뒤 증가율이 줄어 상한 K에 머무는 S자 성장 모형. 자료를 최근 쪽부터 3등분해 Z=P/Y의 부분합 Σ1·Σ2·Σ3로 A·B·C를 구하고, K=P/A·a=ln(B/A)·b=ln C로 기본식에 옮긴다.

1. 정의 교재 436쪽

초기에는 인구성장이 완만하다가 일정기간이 지나면 급격한 증가 후, 다시 증가율이 감소하여 일정수를 유지하게 된다.
대도시권의 인구를 어느 상한선까지 강력히 통제하고자 할 때 사용된다.
비교적 정확한 인구추계를 할 수 있다.

기본식 P_n = K / (1 + e^a+bx) — a, b: 상수(b < 0), K: 인구성장한계.
변형식 y = K / (1 + e^a+bx) = P / (A + BC^x) — P: 인구단위.

2. 원리와 맥락

b < 0이므로 x가 커질수록 e^a+bx가 0에 가까워지고 P_n은 K에 다가간다. 도해는 상한선 K와 K/2 점선을 함께 그린 S자 곡선이다.
인구의 역수 꼴 Z = P/Y를 쓰면 Z = A + BC^x(상수 + 등비 꼴)가 된다. 같은 개수(m)씩 묶은 세 부분합의 차로 C^m·A·B를 푸는 것이 3등분의 이유다 — 교재: 전체 인구 자료를 3등분하여 과정별 평균치에 따른 인구를 추정하는 방법.
419쪽 등차·등비·지수식과 428쪽 최소자승법 직선에는 상한이 없고, 로지스틱은 K로 상한을 둔다. 자료 3개만 쓰는 약산식은 447쪽 삼점법이다.

3. 수치·기준 — 공식·기호·계산 절차 436쪽 상자 원문

절차	식
① Z 변환	Z = P/Y, Z = A + BC^x
② 부분합의 차	d₁ = Σ₂ − Σ₁, d₂ = Σ₃ − Σ₂
③ C	C^m = d₂/d₁ (C는 C^m의 m제곱근, 437쪽 2.2)
④ A	mA = Σ₁ − d₁/(C^m − 1)
⑤ B	B = d₁(C − 1)/(C^m − 1)²
⑥ 기본식 변환	분자·분모를 A로 통분해 A=1 → K = P/A, e^a+bx = (B/A)·C^x → a = ln(B/A), b = ln C

1996	1997·1998	1999·2000	2001·2002
삭제	Σ₁	Σ₂	Σ₃

7개 자료는 최근부터 2개씩 묶어 m=2, 남는 1996년을 지우고 기준년도는 1997년이다. P(인구단위)는 인구를 기초로 10의 승수: 550인 → 100, 24,000 → 10,000, 7,800~12,000처럼 자리수가 다르면 더 작은 인구 기준 1,000.

4. 실무 적용

교재 범위에서 이 모형의 쓰임은 대도시권 인구를 상한선까지 통제하려는 계획이다. 예제(437~441쪽)는 모두 목표연도 인구 한 값을 묻고, 결과는 K를 넘지 않는다(437쪽 K=66,666.67, 2010년 66,503인). 답안은 3등분 표(연도·Y·Z·Σ·d) → 정리 표(p·m·x·d₁·d₂·C^m·C·A·B) → 공식 → K·a·b 변환 → 최종 순서다.

5. 시험 포인트

2018~2024 필답 정리표: 2018년 2회 「로지스틱」 출제. 교재 442쪽부터 로지스틱 기출 실습(2003년 04번 등)이 이어진다.
기준년도 = 삭제 뒤 남은 가장 초기년도, x = 목표연도 − 기준년도. 5년 간격 자료는 간격 수로 센다(442쪽 2003 기출: 1970~1995, 2020년 x=10).
문제가 지정한 소수 자리로 Z·Σ·C·A·B를 끊는다 — 자리에 따라 최종 인구가 달라진다.

6. 혼동·오답

Σ는 인구의 합이 아니라 Z(=P/Y)의 합이다.
3등분은 최근 자료부터 묶고 남는 가장 오래된 자료를 지운다. 기준년도도 함께 옮긴다 — 439쪽 예제3은 1981년을 지우고도 x를 1981년부터 셌다.
교재의 「[A=1, B=a, C=b]」는 줄임 표현이다. 예제 풀이는 a = ln(B/A), b = ln C로 계산한다 — B·C를 그대로 a·b에 넣지 않는다.
예제 2.1의 기본식 분자가 「n」으로 인쇄된 쪽이 있다(437·438·440·441쪽). 436쪽대로 K다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 436쪽(04 로지스틱곡선식 1. 기본식·변형식·3등분 규칙·P값) 이미지 대조 · 437~441쪽 예제 2.6~2.7 변환 · 442쪽 2003 기출 정리 표 · 447쪽 삼점법 · 출제: 김조교_실기 필답기출_2018-2024 정리표 · 앵커 page:kjr-실기/436 · 관련 437쪽 예제1 · 441쪽 예제5(자료 삭제) · 442쪽 로지스틱 실습 · 447쪽 삼점법 · 418쪽 인구추정 공식 요약표 · 435쪽 최소자승법 실습(앞 단원)