교재 435쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 03 최소자승법 · 3. 최소자승법 실습(2009 기출)

3. 최소자승법 실습(계속) — 2009년 04번 종합 계산

한 자료(1985~2005, 5년 간격 5개)로 등차급수·지수함수식·최소자승법·주택수요량을 차례로 묻는 2009년 종합 문제. 교재 답은 2,751,200인·2,839,600인·649,051세대인데, 라)는 「가)의 인구추계」를 쓰라 했으나 풀이는 다)의 값을 썼다.

1. 문제 유형·요구사항 교재 435쪽 2009 04 (13점)

조건: 소수점처리는 소수 셋째자리까지 구하고 반올림하여 둘째자리까지 표현한다.

연도	1985	1990	1995	2000	2005
인구	724,000	905,000	1,222,000	1,567,000	1,734,000

문항	요구	배점	교재 답
가	등차급수로 2025년 인구	4점	2,751,200인
나	지수함수식을 쓰고 변수 설명	3점	식 2개·변수 6개
다	최소자승법, 1995년 기준, 2025년 인구	4점	2,839,600인
라	가)의 인구추계로 주택수요량(세대당 인구 3.5인, 주택보급률 80%, 최종인구 소수점 이하 버림)	2점	649,051세대

2. 원리와 맥락

등차급수 P_n=P_o(1+rn): 해마다 같은 수만큼 늘어난다고 본다. 기준년도가 제시되지 않으면 가장 초기년도를 기준으로 한다(419쪽). 풀이는 P_o=1985년, r은 1985→2005(20년), n은 1985→2025(40년)이다.
지수함수: 인구가 연속적으로 변한다는 원리에 의한 방법이고, 짧은 기간·순간 단위의 변화까지 분석이 가능하다.
최소자승법: 자료 5개라 홀수형(428쪽)이다. 1995년이 중앙(x=0)이고 x 한 칸은 5년이다.
주택수요량 = 추계인구 ÷ 세대당 인구 × 주택보급률.

3. 수치·기준 — 풀이 단계별 계산 435쪽 원문 · python 재계산

단계	교재	재계산
가 r = (1/20)(1,734,000/724,000 − 1)	0.0675 = 0.07	0.069751 → 0.07
가 P = 724,000(1+0.07×40)	2,751,200	2,751,200
다 Σy · Σx² · Σxy	6,152,000 · 10 · 2,682,000	일치
다 a = 6,152,000/5 · b = 2,682,000/10	1,230,400 · 268,200	일치
다 초기년도 변경 a − 2b	1,230,400 − 536,400 = 694,000	일치
다 x = (2025 − 1985)/5	8	8
다 y = 694,000 + 268,200×8	2,839,600	2,839,600
라 2,839,600/3.5×0.8	649,051	649,051.43
라 가)값 2,751,200/3.5×0.8	—	628,845.71 → 628,845

나) 교재 답: P_n = P₀·e^rn, r = (1/t)·ln(P_t/P_o). P_n 목표연도의 인구 · P₀ 기준년도의 인구 · P_t 과거년도의 인구 · r 평균증가율 · n 기준년도에서 목표연도까지의 경과 년 수 · t 과거년도에서 기준년도까지의 경과 년 수.

4. 실무 적용 — 풀이 절차

가: 초기년도 1985를 P_o로, 2005년까지 20년으로 r을 구해 지정 자리로 반올림하고 n=40을 넣는다.
나: 식 두 개와 변수 여섯 개를 적는다.
다: 1995를 x=0으로 표를 만들고 a·b → x(5년 단위) → 대입한다.
라: 문항이 지정한 인구를 세대당 인구로 나누고 보급률을 곱한 뒤 버림한다.

5. 시험 포인트

소수 처리 조건이 r에 걸린다 — r=0.07. r을 반올림하지 않으면 2,744,000이 되어 답이 7,200 달라진다.
나)는 계산이 아니라 식과 변수 설명이다 — 변수 여섯 개를 모두 쓴다.
다)의 x는 연 단위가 아니라 자료 간격(5년) 단위다.
2018~2024 필답 정리표: 2018년 1회 「등차급수, 등비급수」, 2018년 2회 「최소자승법」. 주택수요량은 정리표에서 확인되지 않는다.

6. 혼동·오답

가)의 r 「0.0675」는 오식이다 — (2.3950−1)/20 = 0.0698. 반올림한 0.07과 답 2,751,200은 맞다.
라)는 「가)의 인구추계를 바탕으로」인데 풀이는 다)의 2,839,600을 썼다. 문제대로면 628,845세대다.
다) 문제는 「1995년을 기준년도로」인데 풀이는 원점을 1985년으로 옮겨 x=8을 썼고, 정리 표는 기준연도 1995·a 1,230,400·x 8을 한 줄에 적었다. 그 줄대로 계산하면 3,376,000이다. 1995 기준이면 x=6(1,230,400+268,200×6)으로 답은 같다.
다) 비고 칸 Σy=5,152,000은 오식 — 표 합계 6,152,000이 맞다.
가)의 r식 n(20년)과 P_n식 n(40년)은 다른 기간이다. 419쪽은 r식에 t를 쓴다.
나)의 변수 설명(P_t=과거년도 인구, t=과거년도→기준년도)대로 넣으면 인구가 느는 도시에서 r이 음수가 된다. 419쪽은 P₀를 초기년도, P_t를 후기년도로 둔다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 435쪽(2009 04 가~라 풀이) 이미지 대조 · 419쪽 등차급수·지수함수 공식 풀이 · 428쪽 홀수형 · 계산 python 재검산 · 출제: 김조교_실기 필답기출_2018-2024 정리표 · 앵커 page:kjr-실기/435 · 관련 434쪽 2007·2008 실습 · 428쪽 최소자승법 홀수형 · 419쪽 등차·등비급수·지수함수 · 422쪽 등차급수 실습 · 436쪽 로지스틱곡선식