교재 431쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 03 최소자승법 · 2. 결정계수 R² · 예제1·예제2
2. 결정계수 R² — 예제1 · 예제2
예제1(1999~2015, 4년 간격 5개)은 R²=7,617.6/7,767.2=0.981, 예제2(1975~1983, 기준 1979)는 2011년 인구 403천인과 R²=5,097.185/5,152=0.989. 두 답 모두 재계산과 일치한다.
1. 문제 유형·요구사항 교재 431쪽 예제1·예제2
| 예제 | 자료 | 요구 | 소수 처리 | 교재 답 |
|---|
| 예제1 | 1999~2015년 4년 간격 5개: 143, 167, 210, 227, 251 | 2015년의 결정계수 R² | 넷째자리에서 반올림 | 0.981 |
| 예제2 | 1975~1983년 9개(천인): 76, 80, 86, 97, 106, 117, 126, 139, 145 | 2011년 인구(기준년도 1979년) + R² | 넷째자리에서 반올림, 최종 첫째자리에서 반올림해 정수 | 403천인, 0.989 |
2. 원리와 맥락
- 교재 풀이: 「최소자승법 구하는 식에 y²을 첨가한다.」 — 430쪽 R² = b²(ΣXi² − n(X)²)/(ΣYi² − n(Y)²)의 분모를 구하려고 y² 열과 평균을 더한다.
- x를 Σx = 0으로 치환했으므로 x의 평균이 0이라 n(X)² = 0이다(풀이의 「10 − 5 × 0」, 「60 − 9 × 0」).
- 표의 Average2(Avg2)는 y 평균의 제곱(199.60² = 39,840.16, 108² = 11,664)이지 y²의 평균이 아니다.
3. 수치·기준 — 계산표 교재 431쪽 · python 재계산
| 예제1 | 1999 | 2003 | 2007 | 2011 | 2015 | 합계 |
|---|
| xi | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 0 |
| yi | 143 | 167 | 210 | 227 | 251 | 998 |
| xi² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 10 |
| xi·yi | −286 | −167 | 0 | 227 | 502 | 276 |
| yi² | 20,449 | 27,889 | 44,100 | 51,529 | 63,001 | 206,968 |
Average 199.60, Average2 39,840.16. b = 276/10 = 27.6. R² = 27.6² × (10 − 5 × 0) / (206,968 − 5 × 39,840.16) = 7,617.6 / 7,767.2 = 0.9807 → 0.981 (재계산 0.98074).
| 예제2 연도 | y | x | x² | xy | y² |
|---|
| 1975 | 76 | −4 | 16 | −304 | 5,776 |
| 1976 | 80 | −3 | 9 | −240 | 6,400 |
| 1977 | 86 | −2 | 4 | −172 | 7,396 |
| 1978 | 97 | −1 | 1 | −97 | 9,409 |
| 1979 | 106 | 0 | 0 | 0 | 11,236 |
| 1980 | 117 | 1 | 1 | 117 | 13,689 |
| 1981 | 126 | 2 | 4 | 252 | 15,876 |
| 1982 | 139 | 3 | 9 | 417 | 19,321 |
| 1983 | 145 | 4 | 16 | 580 | 21,025 |
| 합계 | 972 | 0 | 60 | 553 | 110,128 |
| 예제2 단계 | 교재 | 재계산 |
|---|
| 정리 | 목표 2011 · 기준 1979 · n 9 · a 108 · b 9.217 · x 32 · 최종 403 | |
| a, b | 972/9 = 108, 553/60 = 9.217 | 108, 9.21667 |
| ① 인구 | 108 + 9.217 × 32 = 402.944 → 403(천인) | 402.93 → 403 |
| SSR | 9.217² × (60 − 9 × 0) = 5,097.185 | 5,096.82 |
| SST | 110,128 − 9 × 11,664 = 5,152 | 5,152 |
| ② R² | 5,097.185 / 5,152 = 0.9893 → 0.989 | 0.98929 → 0.989 |
4. 실무 적용 — 풀이 절차
- x 치환(Σx = 0) 후 y, x, x², xy, y² 다섯 열과 합계·평균·평균의 제곱을 만든다.
- b = Σxy/Σx², SSR = b²(Σx² − n·0), SST = Σy² − n·Ȳ².
- R² = SSR/SST를 지시된 자리로 반올림한다. 인구도 묻으면(예제2) ① 인구 ② 결정계수로 나눠 쓴다.
5. 시험 포인트
- 답안에 SSR·SST의 식과 값을 따로 적는다(7,617.6 / 7,767.2처럼). 결과만 쓰면 근거가 없다.
- 2018~2024 필답 정리표: 2018년 2회 「최소자승법」. 결정계수만 따로 적힌 항목은 확인되지 않는다.
6. 혼동·오답
- 예제1의 「2015년의 결정계수」는 목표연도가 아니라 1999~2015년 자료 전체로 맞춘 식의 R²다. 목표연도 x는 R² 계산에 들어가지 않는다.
- 4년 간격을 x = −2…2로 두든 −8…8(연 단위)로 두든 R²는 같다 — b가 1/4, Σx²가 16배가 되어 SSR이 변하지 않는다(재계산 0.98074).
- 예제2는 기준년도 1979가 가운데 해라 이동 없이 x = 2011 − 1979 = 32다.
- 풀이 문구의 「y2i」는 yi²의 표기 오류다.
출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 431쪽(결정계수 예제1 · 예제2 ① 최소자승법(홀수법적용) ② 결정계수) 이미지 대조, python 재검산 · 대조 430쪽 R² 공식 · 앵커 page:kjr-실기/431 · 관련 430쪽 결정계수 정의·공식(앞) · 432쪽 최소자승법 실습(다음) · 433쪽 실습 결정계수