3년 간격 자료(1975~2005, 11개)는 경과 년수를 3으로 나눠 x=(2014−1975)/3=13을 넣고 y=−0.002+26,545.455x로 2014년 345,091인을 얻는다. 결정계수 R²=SSR/SST는 회귀식의 적합도를 재는 척도다.
예제3 — 1975~2005년 3년 간격 11개 자료로 2014년 인구를 최소자승법으로 추정(기준년도 1975년, 넷째자리에서 반올림, 최종 첫째자리에서 반올림해 정수).
결정계수 R² — 교재: 「회귀식(回歸式)의 적합도를 재는 척도이다. 회귀분석에서 종속변수 Y의 데이터 Yi에 대하여, Yi의 총변동합에 대한 변동합의 비율을 나타낸다.」 설명된 변화량과 설명되지 않은 변화량:
| 변화량 | 교재가 함께 쓰는 이름 |
|---|---|
| 총 변화량(total deviation) | 총 편차 제곱합(sum of squares of total deviation), 총 편차 자승화, 총변동 |
| 설명된 변화량(explained variation) | 설명된 편차의 제곱합(sum of squares of explained deviation) |
| 설명되지 않은 변화량(unexplained variation) | 설명되지 않은 편차의 제곱합(sum of quares of unexplained variation) |
| 연도 | y(인구) | x | x² | xy |
|---|---|---|---|---|
| 1975 | 20,000 | −5 | 25 | −100,000 |
| 1978 | 30,000 | −4 | 16 | −120,000 |
| 1981 | 50,000 | −3 | 9 | −150,000 |
| 1984 | 60,000 | −2 | 4 | −120,000 |
| 1987 | 80,000 | −1 | 1 | −80,000 |
| 1990 | 130,000 | 0 | 0 | 0 |
| 1993 | 170,000 | 1 | 1 | 170,000 |
| 1996 | 200,000 | 2 | 4 | 400,000 |
| 1999 | 220,000 | 3 | 9 | 660,000 |
| 2002 | 240,000 | 4 | 16 | 960,000 |
| 2005 | 260,000 | 5 | 25 | 1,300,000 |
| 합계 | 1,460,000 | 0 | 110 | 2,920,000 |
| 단계 | 교재 | 재계산 |
|---|---|---|
| a = Σy/n | 1,460,000/11 = 132,727.273 | 132,727.2727 |
| b = Σxy/Σx² | 2,920,000/110 = 26,545.455 | 26,545.4545 |
| 기준년도 이동 | 132,727.273 + 26,545.455(x − 5) | a − 5b = 0 |
| a에 반영 | 132,727.273 − 132,727.275 = −0.002 → y = −0.002 + 26,545.455x | y = 26,545.4545x |
| x | (2014 − 1975)/3 = 13 | 13 |
| 최종 | 345,090.91 → 345,091(인) | 345,090.91 → 345,091 |
| 결정계수 식(교재 표기) | |
|---|---|
| R² = 설명된 변동 / 총 변동 = SSR / SST | |
| SSR = Σ(Xi − X)² = b²(ΣX²i − n(X)²) | X는 x의 평균(윗줄 빠짐) |
| SST = Σ(Yi − Y)² = ΣY²i − n(Y)² | Y는 y의 평균 |
| R² = SSR/SST = b²(ΣXi² − n(X)²) / (ΣYi² − n(Y)²) |
출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 430쪽(예제3 3년 간격 최소자승법 · 2. 결정계수 R² 정의·세 변화량·공식) 이미지 대조, python 재검산 · 대조 429쪽 기준년도 이동, 431쪽 R² 풀이 · 앵커 page:kjr-실기/430 · 관련 429쪽 짝수형·기준년도 이동(앞) · 431쪽 결정계수 예제(다음) · 428쪽 최소자승법 공식