교재 429쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 03 최소자승법 · 예제1 ② 짝수형 · 예제2

03 최소자승법 — ② 짝수형 풀이방식 · 예제2

자료가 짝수 개면 x를 −5,−3,−1,1,3,5처럼 반년 눈금으로 치환해 Σx=0을 만들고, 1년 단위로 b를 2배, 기준년도로 x−2.5(8개면 x−3.5) 이동해 a에 반영한다. 1996~2001 → 2024년 245천인, 1995~2002 → 2015년 82천인.

1. 개요 — 짝수형 풀이방식 교재 429쪽 ② · 예제2

자료가 짝수 개이면 가운데 해가 없다. 교재는 x를 −5, −3, −1, 1, 3, 5(6개)·−7…7(8개)처럼 홀수로 두어 Σx = 0을 만든 뒤, 「6개월 단위를 1년 단위로 수정」 → 「초기년도로 기준년도를 변경」 → 「수정 값을 a에 반영」의 세 단계로 식을 고친다. 공식은 428쪽 변형식 a = Σy_i/n, b = Σx_iy_i/Σx_i²를 그대로 쓴다.

2. 원리와 맥락

6개 자료(1996~2001)의 가운데는 1998년과 1999년 사이(1998.5)다. x = ±1이 가운데에서 반년씩 떨어져 있으므로 x 한 칸은 6개월이고, b는 6개월당 증가량이다. 1년 단위로 바꾸면 y = a + b(2x) — b가 2배가 된다.
0점을 가운데(1998.5)에서 기준년도(1996)로 옮기면 2.5년 차이 → (x − 2.5). 8개 자료(1995~2002)는 가운데 1998.5에서 1995까지 3.5년 → (x − 3.5). 이동량은 (n − 1)/2년이다.
원점을 옮겨도 같은 직선이다. 가운데 기준으로 x = 2024 − 1998.5 = 25.5를 넣어도 96.83 + 5.8 × 25.5 = 244.73(재계산)이다. 옮기는 이유는 「x = 목표연도 − 기준년도」로 쓰기 위해서다.

3. 수치·기준 — 두 풀이 교재 429쪽 · python 재계산

② 짝수형 — 기준년도 1996년, 소수점 둘째자리까지, 목표연도 2024년(단위 천인).

연도	1996	1997	1998	1999	2000	2001	Σ
y	80	90	95	100	106	110	581
x	−5	−3	−1	1	3	5	0
x²	25	9	1	1	9	25	70
xy	−400	−270	−95	100	318	550	203

예제2 — 기준년도 1995년, 넷째자리에서 반올림, 목표 2015년(단위 천인).

연도	y	x	x²	xy
1995	44	−7	49	−308
1996	45	−5	25	−225
1997	47	−3	9	−141
1998	49	−1	1	−49
1999	51	1	1	51
2000	54	3	9	162
2001	55	5	25	275
2002	57	7	49	399
합계	402	0	168	164

단계	② 1996~2001 → 2024	예제2 1995~2002 → 2015
a, b	581/6 = 96.83, 203/70 = 2.9	402/8 = 50.25, 164/168 = 0.976
대입	y = 96.83 + 2.9x	y = 50.25 + 0.976x
6개월 → 1년	= 96.83 + 2.9(2x)	= 50.25 + 0.976(2x)
기준년도 이동	= 96.83 + 5.8(x − 2.5)	= 50.25 + 1.952(x − 3.5)
a에 반영	= 96.83 − 14.5 + 5.8x = 82.33 + 5.8x	= 50.25 − 6.832 + 1.952x = 43.418 + 1.952x
x	2024 − 1996 = 28	2015 − 1995 = 20
최종	82.33 + 5.8 × 28 = 244.73 → 245천인	43.418 + 1.952 × 20 = 82.458 → 82천인
재계산(반올림 전)	244.733 → 245	82.464 → 82

4. 실무 적용 — 풀이 절차

자료 개수 확인 → 짝수면 x = ±1, ±3, ±5…로 치환(Σx = 0).
y·x·x²·xy 표와 Σ, a = Σy/n, b = Σxy/Σx².
1년 단위로 b × 2, 기준년도로 (x − (n−1)/2), 수정값을 a에 합친다.
x = 목표연도 − 기준년도를 넣고 지시대로 반올림.

5. 시험 포인트

교재 풀이의 세 문구(6개월 단위를 1년 단위로 수정 / 초기년도로 기준년도를 변경 / 수정 값을 a에 반영)를 단계 이름으로 그대로 쓴다. 중간식이 채점 근거다.
2018~2024 필답 정리표: 2018년 2회 「최소자승법」 출제(홀수·짝수 구분은 정리표에 없다).

6. 혼동·오답

b를 2배 하지 않으면 예제2가 50.25 + 0.976 × (20 − 3.5) = 66.35 → 66천인(재계산)으로, 교재 답 82천인과 크게 어긋난다.
이동량을 n/2(3·4)로 잡지 않는다 — 6개는 2.5, 8개는 3.5.
홀수형(428쪽)은 x 한 칸이 1년이라 2배 단계가 없다. 짝수형 표의 x는 연도 차가 아니라 반년 단위 눈금이다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 429쪽(예제1 ② 짝수형 풀이방식 · 예제2 짝수법 적용) 이미지 대조, python 재검산 · 대조 428쪽 변형식 · 앵커 page:kjr-실기/429 · 관련 428쪽 최소자승법 공식·홀수형(앞) · 430쪽 예제3·결정계수(다음) · 432쪽 실습 2001년 짝수형