교재 428쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 03 최소자승법 · 1. 최소자승법 · 예제1 ① 홀수형

03 최소자승법 — 1. 최소자승법

최소자승법 y=a+bx는 기본식과 변형식이 있고, 변형식은 Σx=0이 되게 x를 치환해 a=Σy/n, b=Σxy/Σx²로 줄인다. 예제1 홀수형(1975~1985, 기준 1980)은 a=81.55, b=1.22로 1995년 99.85 → 100만인.

1. 정의 교재 428쪽 1. 최소자승법

교재: 「최소자승법은 기본식과 변형식이 있고, 그에 따라 각각 홀수형 풀이방법과 짝수형 풀이방법이 있다. 기본식과 변형식의 차이점은 변형식의 경우 x의 값을 0으로 만들어 줌으로써, 기본식의 오른쪽 항을 0으로 만들어주고, 계산을 용의하게(용이하게) 하고자 함이다.」 교재는 변형식 풀이를 추천하고, 기준년도가 제시되지 않았다면 과거 추세연장법에 따라 초기년도로 기준 년을 변경한다. a와 b를 구한 뒤 y = a + b·x에 대입하며 그 사이에 x값을 치환하는 과정이 있다.

기호: y = 추정인구, x = 기준년도에서 목표연도까지 경과 년수, n = 자료의 개수. 「최소자승」이라는 이름의 뜻을 푼 문장은 교재 428쪽에 없다.

2. 원리와 맥락

기본식의 a = Σy/n − bΣx/n에서 Σx = 0이면 둘째 항이 없어져 a = Σy/n이 된다. b의 기본식도 Σx = 0이면 nΣxy/nΣx² = Σxy/Σx²로 줄어 변형식과 같아진다. 교재 ※: 「Σx를 0으로 만들어 주는 것이 최소자승법의 포인트이다.」
Σx = 0으로 만드는 치환: 자료가 홀수 개면 가운데 해를 0으로 −5…+5(예제1), 짝수 개면 가운데 해가 없어 −5, −3, −1, 1, 3, 5처럼 둔다(429쪽). 교재 ※: 「자료의 개수가 짝수냐, 홀수냐에 따라 계산식 주의」.
등차·등비·지수는 첫해와 마지막 해만 쓰지만, 최소자승법은 모든 연도의 자료로 y = a + bx를 정한다. 418쪽 적용대상: 「인구증감의 변화가 심한 도시에 적합하다. 대부분의 도시에 적용이 가능하다.」

3. 수치·기준 — 공식과 예제1 교재 428쪽

구분	a	b
기본수식	a = Σy/n − b·Σx/n	b = (nΣxy − ΣxΣy) / (nΣx² − (Σx)²)
변형수식	a = Σy_i/n	b = Σx_iy_i / Σx_i²

예제1 ① 홀수형 — 1975~1985년(11개, 단위 만인), 기준년도 1980년, 소수점 둘째자리까지, 목표연도 1995년, 최종 값은 첫째자리에서 반올림해 정수.

연도	y	x	x²	xy(교재)	xy(재계산)
1975	73.0	−5	25	−365	−365
1976	76.0	−4	16	−304	−304
1977	79.0	−3	9	−231	−237
1978	81.0	−2	4	−162	−162
1979	81.5	−1	1	−81.5	−81.5
1980	82.0	0	0	0	0
1981	82.5	1	1	82.5	82.5
1982(교재 표 「9182」)	84.0	2	4	168	168
1983	85.5	3	9	256.5	256.5
1984	86.0	4	16	344	344
1985	86.5	5	25	432.5	432.5
Σ	897.0	0	110	134	134

목표연도	기준년도	n	a	b	x	최종
1995	1980	11	897/11 = 81.55	134/110 = 1.22	1995 − 1980 = 15	100

대입: y = 81.55 + 1.22x → y = 81.55 + 1.22 × 15 = 99.85 → Y = 100(만인). 재계산(반올림 전 a = 81.545, b = 1.2182): 99.82 → 100만인으로 같다.

4. 실무 적용

답안 구성은 교재 풀이 그대로 네 단계다: 1. 정리(목표연도·기준년도·n·a·b·x·최종) → 2. 공식 → 3. 대입 → 최종.
추정한 계획인구는 418쪽 기타공식의 용도지역 면적산출(주거·상업·공업지역 수요추정)에 들어간다.

5. 시험 포인트

교재: 「반드시 내용을 숙지하여 단계별로 빠짐없이 기술하여 주도록 한다.」 — x 치환표(y·x·x²·xy와 Σ)와 x의 정의 문장(「x는 기준년도에서 경과한 년 수」)을 답안에 쓴다.
2018~2024 필답 정리표: 2018년 2회 「최소자승법」 출제.

6. 혼동·오답

예제1 계산표 1977년 xy가 −231로 인쇄됐다. −3 × 79.0 = −237이고, Σxy = 134는 −237일 때만 맞다(−231이면 140). 432쪽 2004년 문제는 1977년 인구가 77.0이라 그쪽 −231은 맞다 — 두 자료는 1977·1978년(79.0·81.0 ↔ 77.0·80.0)만 다르다.
418쪽 요약표는 같은 식을 「a = (nΣxy − ΣxΣy) / (nΣx² − (Σy)²)」로 적는다. 좌변은 b, 분모는 (Σx)²가 맞다(428쪽 기본수식).
x의 0점은 가운데 해다. 예제1은 기준년도 1980이 가운데 해라 x = 15가 바로 나오지만, 기준년도가 가운데가 아니면 식을 옮긴다(429쪽 x − 2.5, 430쪽 x − 5).

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 428쪽(03 최소자승법 본문·기본수식/변형수식·※ 4항·예제1 홀수형) 이미지 대조, 계산표 python 재검산 · 대조 418쪽 공식표, 432쪽 2004년 자료 · 앵커 page:kjr-실기/428 · 관련 418쪽 인구추정 공식 요약표 · 427쪽 선형·지수성장 예제(앞) · 429쪽 짝수형 풀이(다음) · 432쪽 최소자승법 실습