교재 426쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 02 선형·지수성장모형 · 1. 선형모형 · 2. 지수성장모형 · 예제1

02 선형·지수성장모형

연간 증가량의 평균 b로 늘리는 선형모형 Pt+n=Pt+b(n)과 연간 증가율의 평균 r로 복리 성장시키는 지수성장모형 Pt+n=Pt(1+r)^n. 예제1은 2000~2007년 자료로 r=0.311/7=0.044, 2010년 인구 122,892인을 구한다.

1. 정의 교재 426쪽 도입·용어설명·1.·2.

교재는 이 절을 「신규예상 문제로 인구추정이론(Ⅱ)를 추가하였다」고 소개한다. 대한국토·도시계획학회 「도시계획론 5개정판(2009.2)」 제8장 계획인구추정에서 기존 인구추정이론(등차, 등비, 지수)과 교체되어 선형모형, 지수성장모형이 등장했다는 설명이다.

선형모형 — 「과거 인구가 거의 동일하게 증가하거나 감소되었고 미래에도 이와 같은 추세가 계속될 것으로 예상되는 도시에 적응할 수 있는 모형」. 지수성장모형은 교재에 정의 문장 없이 공식만 있다.

선형모형은 연간 증가량(P_t−P_t−1)의 평균 b를 n번 더한다(직선). 지수성장모형은 연간 증가율((P_t−P_t−1)/P_t−1)의 평균 r로 n번 복리 성장시킨다(곡선).
01절 등차·등비급수는 첫해와 마지막 해 두 값만 쓴다(418·419쪽). 선형·지수성장모형은 모든 연도의 증감을 표로 만들어 평균한다 — 교재 풀이: 「임의의 표를 만들었다. 선형모형과 같이 t년과 (t−1)의 차 값과 (t−1)을 나눈 값을 기입한다.」
Σ(P_t−P_t−1)는 마지막 해 − 첫해로 접힌다(예제: 108,000−80,000 = 28,000). 그래서 선형모형의 b는 등차급수의 연간 증가량과 같아지지만, 지수성장모형의 r(증가율의 산술평균)은 등비급수의 r과 다르다(아래 6).

모형	평균	추정식
1. 선형모형	b = (1/m)Σ(P_t − P_t−1)	P_t+n = P_t + b(n)
2. 지수성장모형	r = (1/m)Σ[(P_t − P_t−1)/P_t−1]	P_t+n = P_t(1+r)ⁿ

예제1 — 2000~2007년 자료, 기준년도 2007년, 2010년 인구를 지수성장모형으로(소수 넷째자리에서 반올림).

구간	인구	P_t−P_t−1	(P_t−P_t−1)/P_t−1
2000→2001	80,000 → 90,000	10,000	0.125
2001→2002	90,000 → 95,000	5,000	0.056
2002→2003	95,000 → 100,000	5,000	0.053
2003→2004	100,000 → 102,000	2,000	0.020
2004→2005	102,000 → 105,000	3,000	0.029
2005→2006	105,000 → 107,000	2,000	0.019
2006→2007	107,000 → 108,000	1,000	0.009
합계		28,000	0.311

일곱 증가율과 합계는 재계산(반올림 전 합 0.31099)과 셋째자리까지 일치한다.

교재가 인용한 출처 단원이 「계획인구추정」이다. 추정한 계획인구는 418쪽 기타공식의 용도지역 면적산출(주거지역 수요 = 계획인구/가구당인구 × …)의 입력값이 된다.
n = 목표연도 − 기준년도(2010−2007 = 3). 시간단위가 5년이면 n도 5년 단위 개수로 센다(용어설명의 「월, 년, 또는 5년 등」).

답안 첫머리에 증감표(연도·인구·P_t−P_t−1·(P_t−P_t−1)/P_t−1)를 그리고, m의 근거(「m = 2007 − 2000 = 7」)를 적는다.
증가율은 문제가 정한 자리로 반올림해 합산한다(예제1: 셋째자리, 합 0.311).
교재 스스로 「신규예상 문제」라고 쓴다. 2018~2024 필답 정리표에서 선형·지수성장모형 출제 항목은 확인되지 않는다.

증가율의 분모는 전년도 P_t−1이다. 금년도로 나누면 값이 작아진다.
m은 자료 개수(8)가 아니라 간격 수(7)다.
지수성장모형 r = 0.0444(증가율의 산술평균)와 등비급수 r = (108,000/80,000)^1/7 − 1 = 0.0438(재계산)은 다른 값이다. 이름이 비슷해도 공식을 섞지 않는다.
r을 반올림하지 않고 0.04443을 쓰면 P₂₀₁₀ = 123,043인(재계산)으로 교재 답과 151인 차이가 난다. 지시대로 0.044를 써야 122,892인이 나온다.
선형모형 정의의 「적응할 수 있는 모형」은 문맥상 「적용」의 오식으로 보인다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 426쪽(02 선형·지수성장모형 도입·용어설명·공식·예제1) 이미지 대조, 예제 python 재검산 · 대조 418·419쪽 · 앵커 page:kjr-실기/426 · 관련 418쪽 인구추정 공식 요약표 · 419쪽 등차·등비급수, 지수함수 · 425쪽 지수함수 실습(앞) · 427쪽 예제2·예제3(다음)