교재 425쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 01 등차·등비급수, 지수함수 · 4. 지수함수(지수성장곡선법) 실습

4. 지수함수(지수성장곡선법) 실습 (계속)

교재 표기 2006·2008·2009년 세 문제를 지수함수식 r=(1/t)ln(Pt/P0), Pn=P0·e^(rn)으로 풀고(504·507·505천인), 2009년 문제는 같은 자료에 등차·등비를 함께 적용해 408·502천인과 비교한다.

1. 문제 유형·요구사항 교재 425쪽 세 문제

425쪽은 424쪽 「4. 지수함수(지수성장곡선법) 실습」의 계속이다. 세 문제 모두 자료 10년(11개 연도)의 첫해·마지막 해로 증가율 r을 구하고, 자료의 마지막 해를 기준년도로 22년 뒤를 추계한다.

교재 표기	자료	기준년도 → 목표연도	소수 처리(문제 지시)	교재 답
2006 04(424쪽 문제 다시 실음)	1989~1999, 102 → 168천인	1999 → 2021 (n=22)	소수점 넷째자리까지, 최종 첫째자리에서 반올림	지수 504천인
2008 02 (8점)	1995~2005, 102,460 → 168,810인	2005 → 2027 (n=22)	넷째자리에서 반올림, 인구수 백명 단위에서 반올림	지수 507천인
2009 01	1999~2009, 102 → 168천인	2009 → 2031 (n=22)	최종인구에서 반올림해 천인 단위(소수점 미제시)	등차 408 · 등비 502 · 지수 505천인

공식은 419쪽 그대로다: 등차 r=(1/t)(P_t/P₀−1), 등비 r=(P_t/P₀)^1/t−1, 지수 r=(1/t)ln(P_t/P₀), P_n=P₀·e^rn. r은 가장 초기년도를 P₀, 가장 후기년도를 P_t로 놓는다(419쪽).
r을 구하는 구간(t=10)과 추계 구간(n=22)이 다르다. 추계의 출발값은 문제가 준 기준년도 인구(168천인·168,810인·168,000인)다.
지수함수는 「인구가 연속적으로 변한다는 원리」에 의한 방법이다(418·419쪽).

문제·식	r 교재 → 사용	r 재계산	P_n 교재	P_n 재계산	답
2006 04 지수	0.04989 = 0.0499	0.049899	168e^0.0499×22 = 503.59	503.59	504천인
2008 02 지수	0.0499 = 0.050	0.049930	168,810e^0.050×22 = 507,133.2665	507,133.27	507천인
2009 01 등차	0.0647 = 0.065	0.064706	168,000(1+0.065×22) = 408,240	408,240	408천인
2009 01 등비	0.0511 = 0.051	0.051165	168,000(1+0.051)²² = 501,844	501,844.34	502천인
2009 01 지수(교재 분자 168,800)	0.0498 = 0.050	0.049899	168,000·e^(0.050×22) = 504,699	504,699.89	505천인

자료의 첫해(P₀)·마지막 해(P_t)와 t를 적는다(세 문제 모두 t=10).
문제가 정한 자리로 r을 반올림한다. 지시가 없으면 처리 방법을 답안에 쓴다 — 교재: 「소수점이 제시되지 않으면 소수점 처리 방법을 기입한다. 소수점 넷째자리에서 반올림함.」
n = 목표연도 − 기준년도(22)를 쓰고 P_n을 계산한다.
단위 지시대로 마무리한다: 천인 단위(504·505), 백명 단위에서 반올림(507,133 → 507천인).

세 식을 묻는 문제는 식마다 r·P_n·답을 따로 쓴다(2009년 01번 풀이 형식: ① 등차급수식 ② 등비급수식 ③ 지수함수식).
2008년 02번은 세 식을 요구하지만 교재는 지수함수식 풀이만 싣는다 — 이 자료(102,460 → 168,810)의 등차·등비 풀이는 422~424쪽에도 없다. 2006년 04번은 세 식이 쪽을 건너 실렸다: 등차 407천인(422쪽) · 등비 504천인(424쪽) · 지수 504천인(425쪽).
2018~2024 필답 정리표: 2018년 1회 「등차급수, 등비급수」가 있다. 지수함수 항목은 확인되지 않는다.

2008년 02번 풀이의 「P₂₀₂₁ = 507(천인)」은 목표연도 2027의 오기다(n=22는 2027−2005로 맞다).
2009년 ③ 지수함수식 분자 168,800은 168,000의 오식이다. 168,800이면 r=0.0504가 된다. 지수 「(0.05022)」는 0.050×22.
교재가 끝자리를 버림으로 적은 곳: 0.0511(반올림 0.0512 — 424쪽 같은 비율 풀이는 0.0512), 0.0498(0.0499), 0.04989, 504,699(504,700). 셋째자리 값과 답은 변하지 않는다.
같은 102 → 168천인 자료라도 2006년 문제는 「넷째자리까지」(r=0.0647 → 등차 407천인, 422쪽), 2009년 문제는 「넷째자리에서 반올림」(r=0.065 → 408천인)이라 등차 답이 다르다. 반올림 지시를 문제마다 다시 읽는다.
등비와 지수는 r을 반올림하지 않으면 (1+r_등비) = e^r지수라서 2031년 값이 둘 다 503,581인이다(재계산). 502천인과 505천인의 차이는 r을 0.051·0.050으로 반올림한 데서 나온다 — 반올림 지시를 어기면 답이 달라지는 이유다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 425쪽(2006 04 지수함수 풀이 · 2008 02 · 2009 01 등차·등비·지수) 이미지 대조, 전 계산 python 재검산 · 대조 418·419·424쪽 · 앵커 page:kjr-실기/425 · 관련 424쪽 지수함수 실습(앞) · 422쪽 등차급수 실습(2006년 04번 등차) · 419쪽 등차·등비급수, 지수함수 · 418쪽 인구추정 공식 요약표 · 426쪽 선형·지수성장모형(다음)