교재 442쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 04 로지스틱곡선식 · 2. 실습(2003년 04번)

2. 로지스틱곡선식 실습 — 2003년 04번

2003년 기출 04번(9점): 1970~1995년 5년 간격 인구 6개로 2020년 인구를 3등분법 로지스틱곡선식으로 추계한다. 교재 답 195,869인 — 문제표 1995년 181,000과 풀이표 180,000이 달라 답이 갈린다.

1. 문제 유형·요구사항 교재 442쪽 2003년 04번 · 9점

로지스틱곡선식(3등분법)으로 2020년 인구를 추계한다. 지시: 소수 넷째자리에서 반올림(계산은 셋째자리까지), 최종 값은 소수점 첫째자리에서 반올림해 정수.

연도	1970	1975	1980	1985	1990	1995
인구(문제표)	20,000	40,000	80,000	120,000	160,000	181,000
인구(풀이표)	20,000	40,000	80,000	120,000	160,000	180,000

자료 6개는 3등분이 되므로 삭제 없이 m = 2, 기준연도 1970년(x = 0). x는 자료 간격(5년) 칸 수라 2020년은 x = (2020 − 1970) ÷ 5 = 10이다. P = 10,000(최소 인구 20,000의 자리 기준, 436쪽 규칙).

2. 원리와 맥락

436쪽 기본식 y = K/(1+e^a+bx)를 Z = P/y로 뒤집으면 Z = A + BC^x가 된다(A = P/K, B/A = e^a, C = e^b). 그래서 Z를 세 덩어리로 나눈 부분합 Σ₁·Σ₂·Σ₃의 차 d₁·d₂로 C·A·B를 풀고, 마지막에 K = P/A, a = ln(B/A), b = ln C로 되돌린다(2.6~2.7단계). 445쪽(2006년 04번)이 같은 자료를 다시 묻는다.

3. 풀이 단계별 계산 표 교재 값 ↔ python 재계산(교재 끝수 그대로)

연도	y	Z = P/y	부분합	차
1970·1975	20,000·40,000	0.500·0.250	Σ₁ = 0.750	d₁ = −0.542
1980·1985	80,000·120,000	0.125·0.083	Σ₂ = 0.208	d₂ = −0.089
1990·1995	160,000·180,000	0.063·0.056	Σ₃ = 0.119	-

단계	식	교재	재계산
C^m	d₂/d₁	0.164	0.164
C	(C^m)^1/m	0.405	0.405
mA → A	Σ₁ − d₁/(C^m−1), ÷m	0.102 → 0.051	0.102 → 0.051
B	d₁(C−1)/(C^m−1)²	0.461	0.461
K	P/A	196,078.431	196,078.431
a, b	ln(B/A) = ln 9.039, ln C	2.202, −0.904	2.202, −0.904
Y₂₀₂₀	K/(1+e^a+10b)	195,869	195,868.4 → 195,868

4. 실무 적용 — 풀이 절차

자료 수를 3의 배수로 맞춘다(남으면 가장 오래된 해부터 삭제) → m·기준연도 확정.
P를 10의 승수로 정하고 Z = P/y를 지시 자리수로 적는다.
Σ₁·Σ₂·Σ₃ → d₁ = Σ₂−Σ₁, d₂ = Σ₃−Σ₂.
C^m → C → mA → A → B 순서로 푼다.
P/(A+BC^x)를 A로 나눠 K·e^a·C를 얻고 ln으로 a·b를 구한다.
목표연도의 x를 넣고 정수로 반올림한다.

5. 시험 포인트

교재 답안 형식은 「1. 정리(p·m·x·d₁·d₂·C^m·C·A·B 표) → 2. 공식 → 3. 최종」이다. 최종식 Y = 196,078.431/(1+e^{2.202−0.904x})까지 적는다.
x는 「년」이 아니라 자료 간격 칸 수다(교재 표기 「X = 50년/5년 단위 = 10년」).
2018~2024 필답 정리표에 2018년 2회 「인구추계 — 로지스틱」 항목이 있다. 교재는 2003·2004·2006(2문항)·2007년 로지스틱 기출을 442~446쪽에 싣는다.

6. 혼동·오답

1995년 인구 충돌: 문제표 181,000, 풀이표 180,000. 교재 답은 180,000으로 계산한 값이다. 문제표 그대로면 Z = 0.055, Σ₃ = 0.118, d₂ = −0.090, C^m = 0.166, C = 0.407, A = 0.050, B = 0.462, K = 200,000 → 199,770인.
교재 중간값으로 다시 계산하면 195,868인이다(교재 195,869, 1인 차이).
Z를 셋째자리로 끊는 오차가 크다 — 반올림 없이 계산하면 199,763인. 지시 자리수를 그대로 따라야 교재 답과 맞는다.
2.1 「P_n = n/(1+e^a+bx)」의 분자 n은 K(인구성장한계)다 — 괄호 설명도 K를 정의한다. 2.7 「e^a+bx = 9.039 + (0.405)^x」의 「+」는 곱이다(2.6의 분모가 1 + 9.039(0.405)^x이므로 e^a+bx = 9.039 × 0.405^x). 2.3식은 인쇄가 옆 항과 겹쳐 분수 일부가 가려져 있다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 442쪽(2. 로지스틱곡선식 실습, 2003년 04번) 원문 대조 · 공식·P 설정 규칙 436쪽 · 재계산 python(교재 끝수 그대로 / 끝수 처리 없이 두 갈래) · 앵커 page:kjr-실기/442 · 관련 436쪽 로지스틱곡선식 공식·3등분 규칙 · 441쪽 로지스틱 예제5 · 443쪽 2004년 04번 · 445쪽 같은 자료(2006년 04번)