교재 421쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 01 등차·등비급수, 지수함수 · 예제3·예제4

예제3 지수함수 · 예제4 등차·등비·지수 비교

예제3은 2000~2005년 자료를 지수함수식으로 기준년도 2000(91,657인)·2005(91,849인)로 풀고, 예제4는 2000~2007년 자료로 2020년 인구를 등차(160,000)·등비(189,278)·지수(189,053) 세 방법으로 비교한다.

1. 문제 유형·요구사항 교재 421쪽 예제3·예제4

문항	모형	기준년도	반올림 지시	구하는 값
예제3 ①	지수함수	2000	소수점 넷째 자리에서 반올림, 최종 인구 값은 소수 첫째자리에서 반올림하여 정수	2010년
예제3 ②	지수함수	2005	같음	2010년
예제4	등차·등비·지수	2000	소수점 넷째자리에서 반올림, 최종 인구 값은 소수점 첫째자리에서 반올림하여 정수	2020년

예제3 자료는 419~420쪽과 같다. 예제4 자료: 2000년 80,000 · 2001년 90,000 · 2002년 95,000 · 2003년 100,000 · 2004년 102,000 · 2005년 105,000 · 2006년 107,000 · 2007년 108,000.

2. 원리와 맥락

지수 r = (1/t) ln(P_t/P₀)은 연속 성장률이라 같은 자료의 등비 r보다 작다(예제3 0.134, 예제2 0.144). 대신 e^rn으로 키우므로 결과는 등비와 비슷하다.
예제4는 증가가 둔화되는 자료(첫해 +10,000, 마지막 해 +1,000)지만 세 모형 모두 2000·2007 두 값만 쓴다.
결과 서열 등차 160,000 → 지수 189,053 → 등비 189,278: n = 20이 t = 7보다 길어 419쪽 도해처럼 P_t 뒤에서는 곡선(등비·지수)이 직선(등차) 위로 올라간다.

3. 수치·기준 교재 값과 재계산

문항	r(교재)	P_n(교재)	답	재계산
예제3 ①	(1/5) ln(47,000/24,000) = 0.1344 → 0.134	24,000e^0.134×10 = 91,657.044	91,657(인)	r 0.134419, 일치
예제3 ②	0.134	47,000e^0.134×5 = 91,849.154	91,849(인)	일치
예제4 등차	(1/7)(108,000/80,000 − 1) = 0.05	80,000(1 + 0.05 × 20) = 160,000	160,000(인)	일치
예제4 등비	(108,000/80,000)^1/7 − 1 = 0.0438 → 0.044	80,000(1 + 0.044)²⁰ = 189,277.922	189,278(인)	r 0.043804, 일치
예제4 지수	(1/7) ln(108,000/80,000) = 0.0428 → 0.043	80,000·e^0.043×20 = 189,052.856	189,053(인)	r 0.042872, 일치

4. 실무 적용

t = 2007 − 2000 = 7, n = 2020 − 2000 = 20(세 방법 공통).
등차·등비·지수 r을 각각 구해 소수점 넷째 자리에서 반올림한다.
각 P_n을 계산해 소수 첫째 자리에서 반올림한다.
세 값을 나란히 적어 비교한다.

5. 시험 포인트

한 문항이 세 방법을 함께 묻는다 — 방법마다 r 식·r 값·P_n 식·답을 따로 적는다.
지수는 반올림한 r에 n을 곱해 지수에 넣는다(0.043 × 20 = 0.86).
2018~2024 필답 정리표: 2018년 1회 「등차급수, 등비급수」. 지수함수 단독 항목은 확인되지 않는다.

6. 혼동·오답

인쇄 오기: 예제4 등차 계산 줄 「= 160.000」(쉼표 자리에 마침표), 지수 계산 줄 「= 189,052,856」(소수점 자리에 쉼표). 실제 값은 160,000과 189,052.856이다.
반올림하지 않은 r로 계산하면 등비와 지수는 같은 값이 된다(예제4 둘 다 188,570인, 예제3·예제2 둘 다 92,042인 — 재계산). 두 식은 같은 두 점을 지나는 같은 지수곡선이므로, 교재 답의 차이(189,278 대 189,053)는 r 반올림에서 생긴다.
지수 r에 상용로그(log)를 쓰면 틀린다 — 자연로그(ln)다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 421쪽(예제3 ①·②, 예제4 ①~③) 이미지 대조 · 모든 r·P값 python 재계산 · 앵커 page:kjr-실기/421 · 관련 419쪽 공식 풀이·도해 · 420쪽 예제1 ②·예제2 · 422쪽 등차급수 실습 · 418쪽 공식 요약표