교재 447쪽 · 제2장 인구예측모형 및 수요추정 · 04 로지스틱곡선식 · 3. 삼점법에 의한 풀이

3. 삼점법에 의한 풀이

로지스틱 곡선식의 약산식 — 등간격 세 해(x0 + x2 = 2x1)의 인구 y0·y1·y2만으로 K·m·α를 구한다. 예제를 다시 계산하면 예제1 답 31.30은 m을 빠뜨린 값(맞는 값 31.94)이고, 예제2 답 50.55는 2020년이 아니라 2014년(x = 12) 값이다.

1. 정의·공식 교재 447쪽 1) 공식

교재 정의: 「로지스틱 곡선식의 약산식(데이터 3개만을 이용)」. 조건: 조사년도 인구의 범위를 등 간격으로 취한다(X₀ + X₂ = 2X₁ 충족).

항	교재 식
곡선	Y = K / (1 + m e^αx)
K	{y₁²(y₀ + y₂) − 2y₀y₁y₂} / (y₁² − y₀y₂)
m	(K − y₀) / y₀
α	{1 / (x₁ log e)} · log{(y₀/y₁) · (K − y₁)/(K − y₀)}

기호: y₀·y₁·y₂ = x₀(= 0)·x₁·x₂ 해의 인구, K = 인구성장한계(436쪽), x = x₀ 해부터의 경과 연수(예제는 1년 간격 자료).

2. 원리와 맥락

442~446쪽 3등분법은 자료 전체를 Z = P/y로 바꿔 부분합으로 맞추지만, 삼점법은 고른 세 점을 곡선이 정확히 지나도록 미지수 K·m·α 세 개를 푼다. x = 0에서 Y = K/(1+m)이므로 m = (K − y₀)/y₀, x = x₁에서 m e^αx₁ = (K − y₁)/y₁이므로 α식이 나온다. 「log e」로 나누는 것은 상용로그를 자연로그로 바꾸는 환산이라 α = (1/x₁)·ln{…}와 같다. K식은 x₂ = 2x₁일 때만 성립하므로 등간격 조건이 필수다.

3. 수치·기준 — 예제 계산 대조 교재 ↔ python 재계산

항목	예제1 교재	예제1 재계산	예제2 교재	예제2 재계산
목표연도	2015년	-	2020년	-
세 해(x)	2007(0)·2011(4)·2015(8)	같음	2002(0)·2006(4)·2010(8)	같음
y₀·y₁·y₂(만인)	20·27·32	같음	25.0·45.5·50.0	표의 2006년은 45.0
K	37.62	37.618	50.62	50.617
m	0.88	0.881	1.02	1.025
α	−0.20	−0.2016	−0.55	−0.5524
대입 x	8	8	12	18(2020년)
Y(만인)	31.30	31.94	50.55	50.62

예제1 K: 27²(20+32) − 2(20×27×32) = 37,908 − 34,560 = 3,348, 분모 27² − 20×32 = 89 → 37.62. 예제2 K: (155,268.75 − 113,750) / 820.25 = 50.62. 재계산 Y는 교재의 둘째자리 K·m·α를 그대로 넣은 값이다.

4. 실무 적용 — 풀이 절차

자료에서 등간격 세 해를 고른다 — 교재 예제는 첫 해·가운데 해·마지막 해(x₀ = 0, x₁ = 4, x₂ = 8).
K → m → α 순으로 지시 자리수(셋째자리 반올림 → 둘째자리)까지 구한다.
목표연도의 x(= 목표연도 − x₀ 해)를 Y = K/(1 + m e^αx)에 넣는다.

세 점만 쓰므로 계산은 짧지만 고른 세 해의 값에 결과가 묶인다 — 예제2에서 2006년을 표 값 45.0으로 쓰면 K = 50.81, 2020년 추정 50.81만인이다.

5. 시험 포인트

답안에 x₀ + x₂ = 2x₁을 만족하는 세 해와 x 값을 먼저 적고, K·m·α를 각각 계산한 뒤 최종식에 대입한다.
α식의 log는 상용로그다. 계산기에서 ln을 쓰면 「log e」로 나누지 않는다 — 둘을 섞으면 α가 약 2.3배 어긋난다.
2018~2024 필답 정리표에는 2018년 2회 「인구추계 — 로지스틱」만 있고 3등분법·삼점법 구분은 없다. 447쪽 예제에는 기출 연도 표기가 없다.

6. 혼동·오답

예제1 답 31.30은 37.62/(1 + e^−1.6) — m(0.88)이 빠진 값이다. m을 넣으면 37.62/(1 + 0.88e^−1.6) = 31.94만인. 게다가 2015년은 자료의 마지막 해(y₂ = 32)라 곡선이 그 점을 지나며, 끝수 처리 없이 계산하면 32.00이다.
예제2 y₁: 표는 2006년 45.0, 풀이는 45.5.
예제2 x: 2020년을 묻는데 x = 12(= 2014년)를 넣었다. 2020년은 x = 18 → 50.62만인(y₁ = 45.5) 또는 50.81만인(y₁ = 45.0). 교재 답 50.55는 2014년 값이다.
3등분법의 K/(1+e^a+bx)와 삼점법의 K/(1+me^αx)는 같은 곡선의 다른 표기다(m = e^a, α = b). 기호를 섞지 않는다.

출처: 김조교 도시계획기사 실기 교재 447쪽(3. 삼점법에 의한 풀이, 공식·예제1·예제2) 원문 대조 · 기본식 436쪽 · 재계산 python · 앵커 page:kjr-실기/447 · 관련 436쪽 로지스틱곡선식 공식 · 442쪽 3등분법 실습(2003년) · 446쪽 3등분법 실습(2007년) · 448쪽 05 용도지역 수요추정